Зна­ко­мая с дет­ства кар­тинка. Калей­до­скоп. Назва­ние про­ис­хо­дит от древ­негре­че­ских слов καλός — кра­си­вый, εἶδος — вид, σκοπέω — смотрю, наблю­даю. Этот опти­че­ский при­бор-игрушка был изоб­ре­тён учё­ным-физи­ком в начале XIX века и быстро стал любимой заба­вой во многих стра­нах, вклю­чая Рос­сию.

Те, кто в иссле­до­ва­тельских целях раз­би­рал в дет­стве калей­до­скоп, пом­нят, что внутри цилин­дри­че­ской тубы рас­по­ложены три зер­кала в виде длин­ных прямо­уголь­ни­ков. Они обра­зуют зер­каль­ную тре­уголь­ную призму. За тре­уголь­ни­ком в осно­ва­нии призмы, кото­рый будем назы­вать фун­дамен­таль­ным, рас­по­ложен объём, в кото­ром при враще­нии калей­до­скопа пере­сыпаются мел­кие раз­ноцвет­ные пред­меты, состав­ляя слу­чай­ную кар­тинку. Обра­зо­вавша­яся в фун­дамен­таль­ном тре­уголь­нике кар­тинка отража­ется в зер­ка­лах и кра­си­вым обра­зом запол­няет всю плос­кость изоб­раже­ния.

Для каж­дого чело­века слова «кра­си­вым обра­зом» зна­чат что-то своё, тем не менее, попро­буем выде­лить какие-то матема­ти­че­ские свойства в обра­зующемся в калей­до­скопе изоб­раже­нии.

Кар­тинка, обра­зующа­яся в фун­дамен­таль­ном тре­уголь­нике в кон­крет­ный момент, конечно же, вли­яет на кра­соту общего изоб­раже­ния, но она слу­чай­ная и меня­ется при враще­нии, а зна­чит, от неё наши рас­суж­де­ния зави­сеть не должны. Заме­ним её на более про­стую, матема­ти­че­ски свя­зан­ную с самим фун­дамен­таль­ным тре­уголь­ни­ком — три раз­ноцвет­ные стрелки оди­на­ко­вой длины, отложен­ные от цен­тра тре­уголь­ника перпен­ди­ку­лярно зер­ка­лам.

«Кра­сота» изоб­раже­ния в калей­до­скопе зави­сит от того, какой фун­дамен­таль­ный тре­уголь­ник отража­ется в зер­ка­лах. Полу­чающа­яся кар­тина должна запол­нять всю плос­кость, раз­лич­ные копии-отраже­ния фун­дамен­таль­ного тре­уголь­ника не должны накла­ды­ваться друг на друга, созда­вая меша­нину, не должны обре­заться. Ну а глав­ная харак­те­ри­стика «пра­виль­ного» калей­до­скопа  — изоб­раже­ние, полу­чивше­еся после отражё­ния в зер­ка­лах, наблю­да­тель должен видеть как реаль­ный объект: если смещаться отно­си­тельно зер­кал, то изоб­раже­ние не должно изме­няться.

Какими могут быть углы фун­дамен­таль­ного тре­уголь­ника (углы между зер­ка­лами), чтобы выпол­ня­лись сформу­ли­ро­ван­ные свойства?

В самом рас­про­стра­нён­ном типе калей­до­скопов тре­уголь­ник в осно­ва­нии призмы — рав­но­сто­рон­ний, с углами $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$. Это удобно и с про­из­вод­ствен­ной точки зре­ния — все зер­кала оди­на­ко­вые. Возможны ли какие-то другие наборы углов?

Попро­буем сде­лать зер­каль­ную призму с осно­ва­нием в виде про­из­воль­ного тре­уголь­ника. После отраже­ний наблю­да­тель будет видеть множе­ство облом­ков кар­тинки, обра­зо­вавшейся в фун­дамен­таль­ном тре­уголь­нике и в целом изоб­раже­ние кра­си­вым не будет. Так что кра­си­вая кар­тинка — большая удача.

Кроме рав­но­сто­рон­него тре­уголь­ника с углами $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$ суще­ствуют ещё только два тре­уголь­ника, дающих кра­си­вую кар­тинку. Это прямо­уголь­ные тре­уголь­ники с углами $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ и $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$. Чтобы убе­диться в этом, матема­ти­че­ски построим изоб­раже­ние, воз­ни­кающее в калей­до­скопе.

Возьмём стан­дарт­ный фун­дамен­таль­ный тре­уголь­ник с углами $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$. Что с точки зре­ния матема­тики зна­чит физи­че­ское отраже­ние тре­уголь­ника в зер­кале, содержащем его сто­рону и перпен­ди­ку­ляр­ном его плос­ко­сти? Это добав­ле­ние к изна­чаль­ному тре­уголь­нику симмет­рич­ного ему отно­си­тельно сто­роны, вдоль кото­рой рас­по­ложено зер­кало. Если бы у нас было одно зер­кало, то на этом всё бы и закон­чи­лось; общая кар­тинка состо­яла бы из фун­дамен­таль­ного тре­уголь­ника и его образа в зер­кале. Но в слу­чае калей­до­скопа все три сто­роны фун­дамен­таль­ного тре­уголь­ника зер­каль­ные, и, зна­чит, наблю­да­тель заве­домо уви­дит сам фун­дамен­таль­ный тре­уголь­ник и три его симмет­рич­ные отно­си­тельно сто­рон копии. На самом же деле, как известно из прак­тики, кар­тинка будет гораздо больше.

Дело в том, что отраже­ния зер­кала в зер­кале снова «рабо­тают» как зер­кало. То есть при­рода про­должает симмет­рично отражать копии тре­уголь­ни­ков отно­си­тельно их «вир­ту­аль­ных» сто­рон.

Вот уже воз­ни­кает пер­вое усло­вие на фун­дамен­таль­ный тре­уголь­ник: при после­до­ва­тель­ных симмет­риях отно­си­тельно всех его сто­рон, а затем сто­рон его копий, образы должны замощать (покры­вать без наложе­ний) всю плос­кость. При этом поря­док, в кото­ром про­из­во­дятся отраже­ния при после­до­ва­тель­ном постро­е­нии изоб­раже­ния, не должен вли­ять на окон­ча­тель­ный результат, — наш глаз видит сразу все лучи, форми­рующие и отраже­ния пер­вого порядка, и отраже­ния вто­рого порядка и т.д.

Изоб­раже­ние, наблю­да­емое в тра­дици­он­ном рав­но­уголь­ном калей­до­скопе, действи­тельно совпа­дает с полу­чен­ным рас­смот­рен­ным матема­ти­че­ским спо­со­бом. И оно действи­тельно устой­чиво: если пока­чать калей­до­скоп, то изоб­раже­ние меняться не будет. Даже в тех местах, где ребро между зер­ка­лами калей­до­скопа перемеща­ется отно­си­тельно рисунка, он оста­ется посто­ян­ным вне зави­симо­сти от положе­ния калей­до­скопа и его рёбер.

У калей­до­скопов, постро­ен­ных на фун­дамен­таль­ных тре­уголь­ни­ках с набо­рами углов $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ и $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$, все опи­сан­ные свойства также выпол­няются. А бывают ли еще какие-то слу­чаи?

Если пока­чать калей­до­скоп, постро­ен­ный на фун­дамен­таль­ном тре­уголь­нике с углами $120^\circ$—$30^\circ$—$30^\circ$, то видно, что кар­тинка зави­сит от вза­им­ного рас­по­ложе­ния наблю­да­теля и оси калей­до­скопа — при пока­чи­ва­нии изоб­раже­ние меня­ется около ребра зер­каль­ной призмы.

В слу­чае же про­из­воль­ного тре­уголь­ника, если начать делать все­возмож­ные его отраже­ния на плос­ко­сти, они будут накла­ды­ваться друг на друга, и ни о каком кра­си­вом изоб­раже­нии гово­рить не при­хо­дится. При постро­е­нии опти­че­ской системы в виде зер­каль­ной призмы над таким тре­уголь­ни­ком общее изоб­раже­ние будет скла­ды­ваться из как-то перемешан­ных облом­ков изна­чаль­ного изоб­раже­ния и не будет регу­ляр­ным.

Итак, калей­до­скоп можно постро­ить, исполь­зуя в каче­стве осно­ва­ния призмы тре­уголь­ник с углами $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$, $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ или $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$. Как матема­ти­че­ски понять, что тре­уголь­ник с углами $120^\circ$—$30^\circ$—$30^\circ$, под­хо­дящий геомет­ри­че­ски для замоще­ния плос­ко­сти с исполь­зо­ва­нием симмет­рий, не под­хо­дит для постро­е­ния калей­до­скопа? Все ли возмож­ные тре­уголь­ники уже пере­чис­лены?

Опи­сан­ные усло­вия на полу­чающе­еся в калей­до­скопе изоб­раже­ние можно сформу­ли­ро­вать более точно: тре­уголь­ник в осно­ва­нии должен иметь углы $\frac{180^\circ }{k}$, $\frac{180^\circ}{m}$, $\frac{180^\circ}{n}$, где $k$, $m$, $n$ — нату­раль­ные числа, при­чём $\frac{180^\circ}{k}+\frac{180^\circ}{m}+\frac{180^\circ}{n}=180^\circ$. Если не учи­ты­вать поря­док, то един­ствен­ными реше­ни­ями $\{k, m, n\}$ этого урав­не­ния являются тройки $\{3, 3, 3\}$, $\{2, 4, 4\}$ и $\{2, 6, 3\}$, дающие уже хорошо зна­комые наборы углов $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$, $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ и $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$. Других «калей­до­скоп­ных» тре­уголь­ни­ков не бывает.

Если в осно­ва­нии зер­каль­ной призмы исполь­зо­вать не тре­уголь­ник, а про­из­воль­ный много­уголь­ник, то пра­виль­ный калей­до­скоп полу­ча­ется ещё лишь при исполь­зо­ва­нии четырёх зер­кал, постав­лен­ных по сто­ро­нам прямо­уголь­ника.

При­ве­дён­ные рас­суж­де­ния о принципе устройства калей­до­скопа являются нача­лом очень инте­рес­ной обла­сти матема­тики — тео­рии групп, порож­дён­ных отраже­ни­ями.